Algebraiczne działania na funkcjach
Definicja 1: Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji
Niech będą dane dwie funkcje
\( f:X\to \mathbb R \), \( g:X\to\mathbb R \)
Sumą funkcji \( f \) i \( g \) nazywamy funkcję \( (f+g):X\to\mathbb R \) taką, że \( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \), dla każdego \( x\in X \).
Różnicą funkcji \( f \) i \( g \) nazywamy funkcję \( (f-g):X\to\mathbb R \) taką, że \( (f-g)(x)=f(x)-g(x) \), dla każdego \( x\in X \).
Iloczynem funkcji \( f \) i \( g \) nazywamy funkcję \( (f\cdot g):X\to\mathbb R \) taką, że \( (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \), dla każdego \( x\in X \).
Jeżeli ponadto \( g(x)\neq 0 \) dla każdego \( x\in X \) to ilorazem funkcji \( f \) i \( g \) nazywamy funkcję \( {f\over g}:X\to\mathbb R \) taką, że \( {f\over g}(x)={{f(x)}\over {g(x)}} \) dla każdego \( x\in X \)
Twierdzenie 1: Działania arytmetyczne na funkcjach a własności funkcji
Suma funkcji ograniczonych jest funkcją ograniczoną. Iloczyn funkcji ograniczonych jest funkcją ograniczoną.
Suma funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.
Iloczyn nieujemnych funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.
Suma funkcji malejących jest funkcją malejącą.
Iloczyn nieujemnych funkcji malejących jest funkcją malejącą.
Suma funkcji słabo rosnących jest funkcją słabo rosnącą. Iloczyn nieujemnych funkcji słabo rosnących jest funkcją słabo rosnącą.
Suma funkcji słabo malejących jest funkcją słabo malejącą. Iloczyn nieujemnych funkcji słabo malejących jest funkcją słabo malejącą.